آیا آزمایش بیشتر به معنای کنترل بهتر در پاندمی کروناست

با بحران کنونی کرونا در جهان، بسیاری از مردم خواستار آزمایش بیشتر هستند. اما از نظر ریاضی، آزمایش بیشتر (تصادفی) جواب نمی‌دهد. در ادامه با من در این مقاله همراه باشید تا این را با علم ریاضی و از نظر آماری بررسی کنیم

Image for post
Image for post

 

مقدمه‌ای بر مسئله ریاضی

فرض کنید شخصی که ما اینجا آنرا علی می‌نامیم، ممکن است ویروس کرونا داشته باشد یا نه!

Image for post
Image for post

زمانی که علی آزمایش می‌دهد نتایج آزمایش علی مثبت یا منفی باشد!

Image for post
Image for post

در حالت کلی 4 موقعیت محتمل وجود دارد:

1. علی ویروس کرونا دارد و نتیجه آزمایش مثبت است:

Image for post
Image for post

2. علی ویروس کرونا دارد اما نتیجه آزمایش منفی است:

Image for post
Image for post

3. علی ویروس کرونا ندارد اما نتیجه آزمایش مثبت است:

Image for post
Image for post

4. و یا علی ویروس کرونا ندارد و نتیجه آزمایش منفی است:

Image for post
Image for post

حالات 1 و 4 برای یک آزمایش درست، عالی است. نتیجه 2 برای جامعه بد است (علی فکر می‌کند ویروس ندارد، اما ممکن است ویروس را به دیگران منتقل کند) و نتیجه 3 برای علی مضحک است (چرا که او مجبور است در قرنطینه تنها در خانه بماند حتی اگر حالش خوب باشد)، اما برای جامعه بهتر است.

  1. 99 درصد درست به این معنی است که از 100 نفر مبتلا به ویروس، 99 نفر از آنها نتیجه آزمایش مثبت می‌گیرند، که به این حساسیت (Sensitivity) می‌گویند. از نظر ریاضی، حساسیت، احتمال مثبت بودن نتیجه (T) با شرط داشتن ویروس (V) است.
  2. همچنین 99 درصد درست بودن آزمایش ممکن است به این معنی باشد که از 100 نفر که ویروس ندارند، 99 نفر از آنها نتیجه منفی خواهند گرفت، که به این ویژگی (Specificity) می‌گویند. از نظر ریاضی، ویژگی احتمال منفی بودن نتیجه (T~) با شرط نداشتن ویروس (V~)  است.
Image for post
Image for post

همیشه به یاد داشته باشید که لزومی ندارد حساسیت و ویژگی  یک عدد برابر باشند!

دلایل زیادی وجود دارد که ممکن است آزمایش‌ها نادرست باشند. گاهی اوقات ممکن است ویروس بسیار کم یا فرد به تازگی درگیر بیماری شده باشد و یا اینکه نمونه‌های گرفته شده به اندازه کافی تمیز نباشند. دلایل مختلفی وجود دارد. من پزشک نیستم، بنابراین در اینجا به جزئیات نمی پردازم.
حساسیت و ویژگی، شاخص‌های فوق العاده هستند، هرچند به تنهایی چندان مفید نیستند. به هر حال، اگر ما از قبل می‌دانستیم چه کسی این ویروس را دارد و چه کسی ندارد، آزمایش چه فایده ای داشت؟ اینجاست که ریاضیات و به طور خاص قضیه بیز مطرح می‌شود.

 قضیه بیز 

چیزی که ما واقعا به آن علاقه‌مند هستیم این است که احتمال مبتلا بودن فرد به ویروس پس از گرفتن نتیجه مثبت آزمایش است (به جای اینکه احتمال مثبت بودن آزمایش فردی که در حال حاضر بیمار است، را بخواهیم _ امیدوارم منظورم رو رسونده باشم!).
 

از نظر ریاضی، یعنی احتمال داشتن ویروس (V)با شرط مثبت بودن نتیجه (T) :

Image for post
Image for post

با بکارگیری قضیه بیز در رابطه آماری فوق خواهیم داشت:

Image for post
Image for post

قضیه بیز اساسا شروط را جابجا می‌کند. پیش از این ما بروی افرادی که بیمار شرطی را تعریف می‌کردیم اما حالا ما بر روی افرادی که آزمایش مثبت بودن دارند. این یعنی ما به جای اینکه به همه افرادی که ویروس کرونا دارند توجه کنیم (البته که نمی‌دانیم آنها چه کسانی هستند، اگر این می‌بود، بسیاری از مشکلات ما حل می‌شد)، به همه افرادی که آزمایش آن‌ها مثبت شده‌است، نگاه می‌کنیم. از آنجا که این افراد برای آزمایش ثبت نام کرده اند، پیدا کردن اطلاعات آنها باید بسیار آسان باشد.

در ادامه ما هنوز به احتمال مثبت بودن آزمایش نیاز داریم. احتمال مثبت بودن آزمایش شامل مواردی است که هم مثبت آزمایش شده‌اند و هم واقعاً آلوده شده‌اند و همچنین مثبت آزمایش شده‌اند بدون اینکه آلوده شده باشند، و از نظر ریاضی یعنی:

Image for post
Image for post

برای اینکه دو عبارت احتمالی دیگر را محاسبه کنیم میتوانیم تعاریف احتمال شرطی را را برای آنها بازنویسی کنیم:

Image for post
Image for post

در نتیجه احتمال مثبت شدن آزمایش برابر خواهد بود با :

Image for post
Image for post

اکنون می‌توانیم همه چیز را در قضیه بیز کنار هم قرار دهیم و فرمولی که بتوانیم براساس اطلاعات موجود آنرا محاسبه کنیم را بدست بیاوریم. این فرمول تنها بر اساس حساسیت و احتمال بیمار بودن است:

Image for post
Image for post

حال نوبت آن است با کمی عدد گذاری خروجی‌ها را تحلیل کنیم. اینجاست که جالب می شود فرمول فوق با حساسیت و ویژگی حدود 99% و میزان عفونت تقریباً 0.1% (یعنی از هر 1000 نفر 1 نفر آلوده است) به ما احتمال کمتر از 10% را می‌دهد که یعنی در صورت مثبت بودن آزمایش، فرد با احتمال کمتر 10 % واقعا کرونا دارد!
حال اگر میزان افراد آلوده 1٪ باشد، این احتمال تقریباً به 50٪ افزایش می‌یابد و اگر میزان افراد آلوده 50٪ باشد، این احتمال به 99٪ افزایش می یابد (یعنی همان مقدار حساسیت و ویژگی).

Image for post
Image for post

عجیب نیست !!!

Image for post
Image for post

احتمالات شرطی معمولاً زمانی که دو رویداد متفاوت (V ،T) داریم که به شدت با هم همبسته هستند اما در یکی از آنها احتمال بسیار کمی وجود دارد، نتایج ناخواسته ای را برمی‌گردانند.

توضیحات شهودی 

یک توضیح بسیار شهودی وجود دارد. کشور ایران جمعیت تقریبا 85 میلیونی دارد و با توجه به اطلاعات آمار کرونا در ایران؛ 5.7 میلیون نفر میزان عفونت هست، پس این یعنی احتمال عفونت در حال حاضر 0.067 است. از طرفی هم 79.3 میلیون نفر وجود دارند که بیماری را نگرفته‌اند. از این افراد غیر آلوده، اگر آزمایش کرونا گرفته شود 1% باید نتیجه اشتباه در آزمایش خود بگیرند. این یعنی 793 هزار نفر به اشتباه آزمایش کرونا مثبت دریافت خواهند کرد. یعنی بیش از 7 برابر آمار روزانه ایران! البته این نسبت با افزایش میزان عفونت کاهش می یابد. جالب اینجاست این آمار برای کشوری با جمعیت 330 میلیونی آمریکا برابر 2.5 میلیون آزمایش اشتباه است یعنی نصف افرادی که واقعا در حال حاضر در ایران به کرونا مبتلا شده‌اند.

نتیجه گیری

به همین دلیل است، هر زمان که نتیجه آزمایش شما مثبت شد، اما هیچ علامتی نداشتید، منطقی است که دوباره آزمایش دهید تا نتایج خود را دوباره بررسی کنید. شانس اینکه بیش از یکبار نتیجه آزمایش شما به اشتباه مثبت باشد بسیار بسیار اندک است. بنابراین اگر دو یا چند نتیجه مثبت پشت سر هم به دست آوردید، مطمئن باشید که به ویروس مبتلا شده‌اید.
همچنین، در این مقاله توضیح دادم که چرا منطقی نیست که به طور تصادفی بیرون بروید و  آزمایش بدهید. علاوه بر این واقعیت که ظرفیت آزمایش کافی برای این کار وجود ندارد، ما آنقدر مثبت کاذب دریافت می کنیم که نتایج چندان مفید نخواهد بود.
پزشکان این را می دانند و این یکی از دلایلی است که آنها هیچ وقت بصورت تصادفی تک تک افراد را آزمایش نمی‌کنند. در عوض، آنها افرادی را که علائم دارند یا در تماس نزدیک با یک فرد آلوده بودند، آزمایش می‌کنند. با انجام این کار، ما در واقع نرخ مثبت کاذب را نسبتاً پایین و بسیار نزدیک به 1٪ خطای اعلام شده نگه می داریم.
از آنجا که از نظر ریاضی، این استراتژی منجر به نتیجه مشابهی با افزایش میزان عفونت می‌شود: تعداد نسبی مثبت کاذب با هوشمندتر شدن انتخاب افراد مورد آزمایش کاهش می‌یابد.


منطقی ترین کار این است که وقتی آزمایش انجام شود که دلیل موجهی وجود داشته باشد یعنی احتمال می‌دهیم ممکن است به این ویروس مبتلا شده باشیم. به یاد داشته باشیم محل‌های گرفتن آزمایش این روزها شلوغ بوده و احتمالا عفونت در انجا وجود دارد.

 

در این مطلب سعی کردم یادآوری شود که چرا آزمایش بیشتر همیشه به معنی نتایج بهتر نیست. امیدوارم لذت برده باشید!